Mejores ecuaciones iniciales

Si comparas guías de estrategia de Nerdle, encontrarás tres formas distintas de elegir la «mejor» ecuación inicial — y dan respuestas diferentes:

• Frecuencia de caracteres. Contar qué dígitos y operadores aparecen más a menudo (por posición) y construir con ellos una ecuación inicial. Rápido de calcular, pero ignora cómo la retroalimentación reduce realmente el conjunto — y tiende a recomendar meter dos operadores, lo que según nuestros datos es un error.
• Información de un solo paso. Puntuar cada ecuación inicial según cuánto encoge (o divide por entropía) el conjunto de soluciones tras el primer intento. Mucho mejor — pero aún miope: optimiza el turno uno y simplemente confía en que los turnos dos y tres se resuelvan solos.
• Simulación de estrategia verificada (lo que usa NerdleBuddy). Para cada ecuación inicial, jugamos la estrategia generada contra cada solución modelada y promediamos el número de intentos que tarda en terminar. Esto mide partidas completas en lugar de solo la primera división. Es exacto para esta estrategia y una cota superior del óptimo teórico desconocido.

El problema de la miopía es real, y nuestros datos lo muestran con claridad: 48-32=16 es la mejor ecuación inicial según la métrica de un solo paso — deja las menos soluciones en promedio (~31) — pero termina las partidas en 2.9841 intentos sin redondear, perdiendo frente a 52-34=18 (~33 soluciones restantes, pero 2.9834 sin redondear para terminar). Ambas muestran 3.0 intentos restantes. Un conjunto ligeramente mayor que sigue dividiéndose con limpieza vence a un conjunto ligeramente menor que no lo hace.

Por qué las mejores ecuaciones iniciales se parecen todas: gana una sola receta — dos dígitos menos (o más) dos dígitos igual a dos dígitos, con los ocho caracteres distintos: seis dígitos diferentes tomados de los más comunes, el operador más común (la resta, que aparece en el 44.1% de las soluciones) y el signo igual en su posición más común. Cada una de las 100 mejores ecuaciones iniciales encaja en esa receta (78 restas, 22 sumas, ninguna con un carácter repetido), y las 100 mejores en conjunto abarcan unos 0.010 intentos esperados — aproximadamente un intento extra por cada cien partidas entre la #1 y la #100. Así que si la clasificación se lee como la misma ecuación con otros dígitos, es exactamente eso: cambiar un dígito común por otro apenas altera cuánto aprende el intento, y en este modelo cualquiera de ellas está en un empate efectivo.

Las ecuaciones iniciales con dos operadores como 4*9+2=38 — una recomendación frecuente en otros sitios — prueban más símbolos, pero producen una retroalimentación más borrosa. En el artefacto de reglas reales, la mejor promedia 3.06 intentos esperados sin redondear (3.1 mostrado) y queda alrededor del puesto 1,500 de 17,723; ninguna ecuación de dos operadores aparece entre las 100 mejores.

¿Por qué la resta en concreto? La suma y la resta de un solo operador son imágenes especulares — cada a+b=c puede leerse como c−b=a, así que el conjunto contiene exactamente 3,330 de cada una, incluidas 3,240 de cada forma dd±dd=dd de dos dígitos. Lo que rompe el empate es el propio símbolo del operador: − es el operador más común del juego y aparece en el 44.1% de las soluciones (la suma llega al 38.6%), porque más de la mitad de todas las soluciones con dos operadores — 4,480 de 8,607 — usa una resta para devolver un valor intermedio grande a un resultado de 8 caracteres. Así que una ecuación inicial con resta prueba el operador más probable junto a seis dígitos comunes: un − verde o morado confirma la estructura más probable, y un − negro elimina la mayor porción del conjunto que un solo operador puede eliminar. El cálculo de partidas completas coincide: 78 de las 100 mejores ecuaciones iniciales son restas. La mejor ecuación inicial con suma, 46+32=78, promedia 2.989 intentos antes del redondeo de pantalla (3.0 intentos restantes) y queda alrededor del puesto 22 en el artefacto de cuatro decimales.

Las ecuaciones iniciales con división como 138/69=2 son una recomendación popular en otros sitios, y la lógica es sólida hasta donde llega: las ecuaciones de división están muy restringidas (los números deben dividirse de forma exacta), así que su retroalimentación es informativa. Pero la división también es el operador más raro — solo el 22.7% de las soluciones contiene una —, así que una ecuación inicial con división gasta su hueco de operador en la estructura menos probable. El artefacto de reglas reales sitúa la mejor ecuación inicial con división, 168/7=24, alrededor del puesto 860 con 3.03 intentos esperados sin redondear, y 138/69=2 alrededor del 1,400 con 3.06 — cerca de un intento extra cada 14 partidas frente al grupo líder de restas. Perfectamente jugable; solo que este modelo la clasifica más abajo. Los puestos aproximados son intencionales, porque muchas ecuaciones empatan a la precisión de cuatro decimales del artefacto.

Una gran ecuación inicial solo rinde si el intento siguiente gana información nueva. Prueba dígitos y operadores nuevos, mueve los caracteres morados a posiciones nuevas y recuerda que un intento de sondeo que no puede ganar es a veces el camino más rápido hacia la solución. Calculamos el mejor segundo intento para cada posible resultado del primer intento.