最佳起手等式

比較各家 Nerdle 策略指南，你會發現大家用三種不同的方式挑「最佳」起手式——而它們給出的答案並不相同：

• 字元頻率。 統計哪些數字和運算子（按位置）最常出現，再用它們拼出起手式。計算快速，但它忽略了回饋實際上如何縮小答案池——而且往往建議硬塞兩個運算子，我們的數據顯示那是個錯誤。
• 單步資訊量。 依據第一步之後答案池縮小（或依熵切分）的幅度為每個起手式評分。好得多——但仍然短視：它只最佳化第一回合，然後指望第二、三回合自己會順利。
• 全局模擬（NerdleBuddy 採用的方法）。 對每個起手式，我們用生成的策略打完每一個模型化答案，再平均完賽所需的猜測數。這衡量的是完整對局，而不只是第一次切分。它對這套策略而言是精確值，同時是未知理論最佳解的上界。

短視問題真實存在，我們的數據清楚呈現：48-32=16 是單步指標下的最佳起手式——它平均留下的答案最少（約 31 個）——但它以未四捨五入的 2.9841 次猜測完賽，輸給了 52-34=18（約剩 33 個答案，完賽卻只要未四捨五入的 2.9834 次）。兩者顯示出來都是剩餘 3.0 次猜測。一個稍大、但後續能持續俐落切分的答案池，勝過一個稍小卻切不乾淨的答案池。

為什麼最佳起手式長得都一樣： 贏家只有一種配方——兩位數減（或加）兩位數等於兩位數，八個字元全不重複：六個不同的數字取自最常見的數字，搭配最常見的運算子（減法，出現在 44.1% 的答案 中），等號放在它最常見的位置。前 100 名的每一個起手式都符合這個配方（78 個減法、22 個加法，沒有任何重複字元），而整個前 100 名的預期猜測數只相差約 0.010——大約每一百局才在第 1 名與第 100 名之間多出一次猜測。所以如果排行榜看起來像同一條等式換上不同數字，那正是事實：把一個常見數字換成另一個，幾乎不會改變這一步猜測能學到多少；在這個模型中，它們實際上不分軒輊。

像 4*9+2=38 這種雙運算子起手式——別處經常推薦——測試了更多符號，但產生的回饋更模糊。在真實規則的成果檔中，最好的雙運算子起手式平均需要未四捨五入的 3.06 次預期猜測（顯示為 3.1），在 17,723 個之中排在約第 1,500 名；前 100 名裡沒有任何雙運算子等式。

為什麼偏偏是減法？ 單運算子的加法與減法互為鏡像——每個 a+b=c 都能讀成 c−b=a，所以答案池中兩者各恰好 3,330 條。打破平手的是運算子符號本身：− 是遊戲中最常見的運算子，出現在 44.1% 的答案裡（加法為 38.6%），因為多數雙運算子答案會用一個減法，把偏大的中間值拉回到 8 字元的結果——完整的拆分見運算子統計頁。因此減法起手式在測試六個常見數字的同時，也測試了最可能出現的運算子：綠色或紫色的 − 確認了最可能的結構，而黑色的 − 則排除了單一運算子所能排除的最大一塊答案池。全局計算也同意：前 100 名起手式中有 78 個是減法。最佳的加法起手式 46+32=78，在顯示四捨五入前平均 2.989 次猜測（顯示為剩餘 3.0 次），在四位小數成果檔中排在約第 22 名。

像 138/69=2 這種除法起手式在別處是熱門推薦，就其本身而言邏輯也說得通：除法等式的限制非常強（數字必須整除），所以它的回饋資訊量高。但除法同時也是最罕見的運算子——只有 22.7% 的答案包含除法——所以除法起手式把運算子欄位花在最不可能出現的結構上。真實規則成果檔中，最佳除法起手式 168/7=24 排在約第 860 名、未四捨五入 3.03 次預期猜測；138/69=2 約第 1,400 名、3.06 次——對上頂尖的減法集團，大約每 14 局多出一次猜測。完全可以玩；只是在這個模型中排名較低。由於許多等式在成果檔的四位小數精度下平手，名次刻意以約數呈現。

好的起手式，要靠後續猜測賺到新資訊才算划算。測試新的數字與運算子、把紫色字元移到新位置，並記住：一次不可能獲勝的試探性猜測有時反而是通往答案最快的路。我們已為每一種可能的第一步結果算出最佳第二步猜測。