משוואות הפתיחה הטובות ביותר

אם משווים בין מדריכי אסטרטגיה ל-Nerdle, מוצאים שלוש דרכים שונות לבחור פתיחה ״הכי טובה״ — והן נותנות תשובות שונות:

• תדירות תווים. סופרים אילו ספרות ואופרטורים מופיעים הכי הרבה (לפי מיקום) ובונים מהם משוואת פתיחה. מהיר לחישוב, אבל מתעלם מהאופן שבו המשוב באמת מצמצם את המאגר — ונוטה להמליץ לדחוס שני אופרטורים, מה שהנתונים שלנו מראים שהוא טעות.
• מידע של צעד אחד. מנקדים כל פתיחה לפי כמה היא מכווצת (או מפצלת לפי אנטרופיה) את מאגר התשובות אחרי הניחוש הראשון. הרבה יותר טוב — אבל עדיין קצר-רואי: זה ממטב את התור הראשון ופשוט מקווה שהתורות השני והשלישי יסתדרו מעצמם.
• סימולציה של אסטרטגיה מאומתת (מה ש-NerdleBuddy משתמש בו). עבור כל פתיחה אנחנו משחקים את האסטרטגיה שנוצרה במודל מול כל תשובה ממודלת, וממצעים את מספר הניחושים עד הסיום. זה מודד משחקים שלמים במקום רק את הפיצול הראשון. זה מדויק עבור האסטרטגיה הזאת ומהווה חסם עליון על האופטימום התאורטי הלא ידוע.

בעיית קוצר הרואי אמיתית, והנתונים שלנו מראים אותה בבירור: ⁦48-32=16⁩ היא הפתיחה הטובה ביותר לפי מדד הצעד האחד — היא משאירה בממוצע את מספר התשובות הקטן ביותר (~31) — אבל היא מסיימת משחקים ב-2.9841 ניחושים לא מעוגלים, ומפסידה ל-⁦52-34=18⁩ (~33 תשובות נותרות, אבל 2.9834 לא מעוגל עד הסיום). שתיהן מציגות 3.0 ניחושים שנותרו. מאגר מעט גדול יותר שממשיך להתפצל בצורה נקייה מנצח מאגר מעט קטן יותר שלא.

למה כל הפתיחות הטובות ביותר נראות אותו דבר: מתכון אחד מנצח — דו-ספרתי פחות (או ועוד) דו-ספרתי שווה דו-ספרתי, כשכל שמונת התווים שונים זה מזה: שש ספרות שונות שנלקחות מתוך הספרות הנפוצות ביותר, האופרטור הנפוץ ביותר (חיסור, שמופיע ב-44.1% מהתשובות), וסימן השוויון במיקום הנפוץ ביותר שלו. כל אחת מ-100 הפתיחות המובילות מתאימה למתכון הזה (78 תרגילי חיסור, 22 תרגילי חיבור, ואף לא אחת עם תו חוזר), וכל מאה המובילות משתרעות על פני כ-0.010 ניחושים צפויים — בערך ניחוש נוסף אחד לכל מאה משחקים בין מקום 1 למקום 100. אז אם טבלת המובילים נקראת כמו אותה משוואה בספרות מתחלפות, זה בדיוק מה שהיא: החלפת ספרה נפוצה אחת באחרת בקושי משנה כמה הניחוש מלמד, ובמודל הזה כולן למעשה שוות.

פתיחות עם שני אופרטורים כמו ⁦4*9+2=38⁩ — המלצה נפוצה במקומות אחרים — בודקות יותר סמלים, אבל מפיקות משוב מטושטש יותר. בקובץ הכללים האמיתיים, הטובה שבהן מגיעה בממוצע ל-3.06 ניחושים צפויים לא מעוגלים (3.1 בתצוגה) ויושבת בסביבות מקום 1,500 מתוך 17,723; אף משוואה עם שני אופרטורים לא מופיעה ב-100 המובילות.

למה דווקא חיסור? חיבור וחיסור עם אופרטור יחיד הם תמונות ראי — כל a+b=c אפשר לקרוא כ-c−b=a, ולכן המאגר מכיל בדיוק 3,330 מכל אחד מהם, כולל 3,240 מכל אחת מצורות ה-dd±dd=dd הדו-ספרתיות. מה ששובר את השוויון הוא סמל האופרטור עצמו: − הוא האופרטור הנפוץ ביותר במשחק ומופיע ב-44.1% מהתשובות (החיבור מגיע ל-38.6%), כי יותר ממחצית מכל התשובות עם שני אופרטורים — 4,480 מתוך 8,607 — משתמשות בחיסור כדי להחזיר ערך ביניים גדול לתוצאה של 8 תווים. כך שפתיחת חיסור בודקת את האופרטור הסביר ביותר לצד שש ספרות נפוצות: − ירוק או סגול מאשר את המבנה הסביר ביותר, ו-− שחור מסלק את הנתח הגדול ביותר של המאגר שאופרטור יחיד יכול לסלק. חישוב המשחק המלא מסכים: 78 מ-100 הפתיחות המובילות הן תרגילי חיסור. פתיחת החיבור הטובה ביותר, ⁦46+32=78⁩, מגיעה בממוצע ל-2.989 ניחושים לפני עיגול התצוגה (3.0 ניחושים שנותרו) ויושבת בסביבות מקום 22 בקובץ ארבע הספרות העשרוניות.

פתיחות עם חילוק כמו ⁦138/69=2⁩ הן המלצה פופולרית במקומות אחרים, וההיגיון תקף עד גבול מסוים: משוואות חילוק מוגבלות מאוד (המספרים חייבים להתחלק בלי שארית), ולכן המשוב שלהן אינפורמטיבי. אבל חילוק הוא גם האופרטור הנדיר ביותר — רק 22.7% מהתשובות מכילות אחד — כך שפתיחת חילוק מבזבזת את משבצת האופרטור שלה על המבנה הכי פחות סביר. קובץ הכללים האמיתיים ממקם את פתיחת החילוק הטובה ביותר, ⁦168/7=24⁩, בסביבות מקום 860 עם 3.03 ניחושים צפויים לא מעוגלים, ואת ⁦138/69=2⁩ בסביבות מקום 1,400 עם 3.06 — בערך ניחוש נוסף אחד כל 14 משחקים מול אשכול החיסור המוביל. אפשר בהחלט לשחק בהן; הן פשוט מדורגות נמוך יותר במודל הזה. הדירוגים המקורבים מכוונים, כי משוואות רבות שוות בדיוק ארבע הספרות העשרוניות של הקובץ.

פתיחה מצוינת משתלמת רק אם ההמשך מרוויח מידע חדש. בודקים ספרות ואופרטורים חדשים, מזיזים תווים סגולים למיקומים חדשים, וזוכרים שניחוש בדיקה שלא יכול לנצח הוא לפעמים הדרך המהירה ביותר לתשובה. חישבנו את הניחוש השני הטוב ביותר לכל תוצאה אפשרית של הניחוש הראשון.