Bästa startekvationerna

Om du jämför Nerdle-strategiguider hittar du tre olika sätt att välja en ”bästa” start — och de ger olika svar:

• Teckenfrekvens. Räkna vilka siffror och räknesätt som förekommer oftast (per position) och bygg en öppning av dem. Snabbt att beräkna, men det ignorerar hur återkopplingen faktiskt smalnar av poolen — och det tenderar att rekommendera att klämma in två räknesätt, vilket våra data visar är ett misstag.
• Ett stegs information. Poängsätt varje öppning efter hur mycket den krymper (eller entropidelar) svarspoolen efter första gissningen. Mycket bättre — men fortfarande närsynt: det optimerar drag ett och hoppas bara att drag två och tre sköter sig själva.
• Simulering av hela spel (det NerdleBuddy använder). För varje öppning spelar vi den genererade strategin genom varje modellerat svar och tar genomsnittet av antalet gissningar som krävs för att bli klar. Det mäter kompletta spel i stället för bara den första uppdelningen. Det är exakt för den här strategin och en övre gräns för det okända teoretiska optimumet.

Närsynthetsproblemet är verkligt, och våra data visar det tydligt: 48-32=16 är den bästa öppningen enligt ettstegsmåttet — den lämnar färst svar i genomsnitt (~31) — men den avslutar spelen på oavrundade 2,9841 gissningar och förlorar mot 52-34=18 (~33 svar kvar, men oavrundade 2,9834 till mål). Båda visar 3,0 gissningar kvar. En något större pool som fortsätter dela sig rent slår en något mindre pool som inte gör det.

Därför ser de bästa öppningarna likadana ut: ett recept vinner — tvåsiffrigt minus (eller plus) tvåsiffrigt lika med tvåsiffrigt, med alla åtta tecken olika: sex olika siffror hämtade från de vanligaste, det vanligaste räknesättet (subtraktion, som förekommer i 44,1 % av svaren) och likhetstecknet på sin vanligaste position. Varenda en av de 100 bästa öppningarna följer det receptet (78 subtraktioner, 22 additioner, ingen med ett upprepat tecken), och hela topp 100 spänner över ungefär 0,010 förväntade gissningar — ungefär en extra gissning per hundra spel mellan #1 och #100. Så om topplistan ser ut som samma ekvation i olika siffror är det precis vad den är: att byta en vanlig siffra mot en annan ändrar knappt hur mycket gissningen lär sig, och vilken som helst av dem är i praktiken likvärdig i den här modellen.

Öppningar med två räknesätt som 4*9+2=38 — en vanlig rekommendation på andra håll — testar fler symboler men ger suddigare återkoppling. I artefakten med riktiga regler snittar den bästa på oavrundade 3,06 förväntade gissningar (3,1 visat) och ligger runt plats 1 500 av 17 723; ingen ekvation med två räknesätt finns bland de 100 bästa.

Varför just subtraktion? Addition och subtraktion med ett räknesätt är spegelbilder — varje a+b=c kan läsas som c−b=a, så poolen innehåller exakt 3 330 av varje. Det som bryter dödläget är själva räknesättssymbolen: − är det vanligaste räknesättet i spelet och förekommer i 44,1 % av svaren (addition når 38,6 %), eftersom de flesta svar med två räknesätt använder en subtraktion för att dra ner ett stort mellanvärde till ett resultat på 8 tecken — statistiksidan om räknesätt har hela fördelningen. En subtraktionsöppning testar alltså det mest sannolika räknesättet vid sidan av sex vanliga siffror: ett grönt eller lila − bekräftar den mest sannolika strukturen, och ett svart − eliminerar den största del av poolen något enskilt räknesätt kan eliminera. Helspelsberäkningen håller med: 78 av de 100 bästa öppningarna är subtraktioner. Den bästa additionsöppningen, 46+32=78, snittar 2,989 gissningar före visningsavrundning (3,0 gissningar kvar) och ligger runt plats 22 i fyrdecimalsartefakten.

Divisionsöppningar som 138/69=2 är en populär rekommendation på andra håll, och logiken håller så långt den räcker: divisionsekvationer är hårt begränsade (talen måste gå jämnt ut), så deras återkoppling är informativ. Men division är också det ovanligaste räknesättet — bara 22,7 % av svaren innehåller ett — så en divisionsöppning lägger sin räknesättsplats på den minst sannolika strukturen. Artefakten med riktiga regler placerar den bästa divisionsöppningen, 168/7=24, runt plats 860 med oavrundade 3,03 förväntade gissningar, och 138/69=2 runt plats 1 400 med 3,06 — ungefär en extra gissning var fjortonde spel mot det bästa subtraktionsklustret. Fullt spelbar; bara lägre rankad av den här modellen. De ungefärliga placeringarna är avsiktliga eftersom många ekvationer delar värde vid artefaktens fyra decimaler.

En bra öppning lönar sig bara om uppföljningen skaffar ny information. Testa nya siffror och räknesätt, flytta lila tecken till nya positioner och kom ihåg att en sonderingsgissning som inte kan vinna ibland är den snabbaste vägen till svaret. Vi beräknade den bästa andra gissningen för varje möjligt resultat av första gissningen.