Najlepsze równania otwierające

Jeśli porównasz przewodniki po strategii Nerdle, znajdziesz trzy różne sposoby wybierania „najlepszego” otwarcia — i dają one różne odpowiedzi:

• Częstość znaków. Policz, które cyfry i operatory pojawiają się najczęściej (na każdej pozycji), i zbuduj z nich otwarcie. Szybkie do policzenia, ale ignoruje, jak informacja zwrotna naprawdę zawęża pulę — i zwykle podpowiada upychanie dwóch operatorów, co według naszych danych jest błędem.
• Informacja z jednego kroku. Oceń każde otwarcie według tego, jak bardzo kurczy (albo dzieli entropijnie) pulę odpowiedzi po pierwszej próbie. Dużo lepiej — ale wciąż krótkowzrocznie: optymalizuje pierwszą kolejkę i po prostu liczy, że druga i trzecia zatroszczą się o siebie same.
• Symulacja zweryfikowanej strategii (tego używa NerdleBuddy). Dla każdego otwarcia rozgrywamy wygenerowaną strategię przez każdą wymodelowaną odpowiedź i uśredniamy liczbę prób do mety. To mierzy całe partie, a nie tylko pierwszy podział. Wynik jest dokładny dla tej strategii i stanowi górne ograniczenie nieznanego teoretycznego optimum.

Problem krótkowzroczności jest realny, a nasze dane pokazują go wyraźnie: 48-32=16 to najlepsze otwarcie według metryki jednego kroku — zostawia średnio najmniej odpowiedzi (~31) — ale kończy partie w 2,9841 próby bez zaokrąglenia, przegrywając z 52-34=18 (~33 pozostałych odpowiedzi, ale 2,9834 bez zaokrąglenia do mety). Oba pokazują 3,0 pozostałych prób. Nieco większa pula, która wciąż dzieli się czysto, wygrywa z nieco mniejszą pulą, która tego nie robi.

Dlaczego najlepsze otwarcia wyglądają tak samo: wygrywa jeden przepis — dwucyfrowa liczba minus (albo plus) dwucyfrowa równa się dwucyfrowej, a wszystkie osiem znaków jest różnych: sześć różnych cyfr z najczęstszych, najczęstszy operator (odejmowanie, które występuje w 44,1% odpowiedzi) oraz znak równości na swojej najczęstszej pozycji. Każde ze 100 najlepszych otwarć pasuje do tego przepisu (78 odejmowań, 22 dodawania, żadne z powtórzonym znakiem), a cała setka rozciąga się na około 0,010 oczekiwanej próby — mniej więcej jedna dodatkowa próba na sto partii między nr 1 a nr 100. Jeśli więc ranking czyta się jak to samo równanie w różnych cyfrach, to dokładnie to: zamiana jednej częstej cyfry na inną ledwie zmienia, ile próba się dowiaduje, i w tym modelu każde z nich jest w praktyce zremisowane.

Otwarcia z dwoma operatorami, jak 4*9+2=38 — częsta rekomendacja gdzie indziej — testują więcej symboli, ale dają bardziej rozmytą informację zwrotną. W artefakcie prawdziwych reguł najlepsze z nich kończy średnio w 3,06 próby bez zaokrąglenia (wyświetlane 3,1) i plasuje się około 1500. miejsca na 17 723; żadne równanie z dwoma operatorami nie pojawia się w pierwszej setce.

Dlaczego akurat odejmowanie? Dodawanie i odejmowanie z jednym operatorem to lustrzane odbicia — każde a+b=c można odczytać jako c−b=a, więc pula zawiera dokładnie 3 330 każdego z nich, w tym po 3 240 dwucyfrowych kształtów dd±dd=dd. Remis rozstrzyga sam symbol operatora: − to najczęstszy operator w grze, obecny w 44,1% odpowiedzi (dodawanie osiąga 38,6%), bo ponad połowa wszystkich odpowiedzi z dwoma operatorami — 4 480 z 8 607 — używa odejmowania, żeby ściągnąć dużą wartość pośrednią z powrotem do 8-znakowego wyniku. Otwarcie z odejmowaniem testuje więc najbardziej prawdopodobny operator obok sześciu częstych cyfr: zielony lub fioletowy − potwierdza najbardziej prawdopodobną strukturę, a czarny − eliminuje największy kawałek puli, jaki w ogóle może wyeliminować pojedynczy operator. Obliczenia pełnych partii to potwierdzają: 78 ze 100 najlepszych otwarć to odejmowania. Najlepsze otwarcie z dodawaniem, 46+32=78, kończy średnio w 2,989 próby przed zaokrągleniem na ekranie (3,0 pozostałych prób) i plasuje się około 22. miejsca w artefakcie o czterech miejscach po przecinku.

Otwarcia z dzieleniem, takie jak 138/69=2, to popularna rekomendacja gdzie indziej, a logika jest słuszna w swoim zakresie: równania z dzieleniem są mocno ograniczone (liczby muszą dzielić się bez reszty), więc ich informacja zwrotna jest treściwa. Ale dzielenie to zarazem najrzadszy operator — zawiera go tylko 22,7% odpowiedzi — więc otwarcie z dzieleniem wydaje swoje miejsce na najmniej prawdopodobną strukturę. Artefakt prawdziwych reguł umieszcza najlepsze otwarcie z dzieleniem, 168/7=24, około 860. miejsca z 3,03 oczekiwanej próby bez zaokrąglenia, a 138/69=2 około 1400. miejsca z 3,06 — to mniej więcej jedna dodatkowa próba co 14 partii względem czołowej grupy odejmowań. W pełni grywalne; ten model po prostu klasyfikuje je niżej. Przybliżone miejsca są celowe, bo przy czterech miejscach po przecinku wiele równań w artefakcie remisuje.

Świetne otwarcie opłaca się tylko wtedy, gdy kolejna próba zdobywa nowe informacje. Testuj świeże cyfry i operatory, przestawiaj fioletowe znaki na nowe pozycje i pamiętaj, że próba sondująca, która nie może wygrać, bywa najszybszą drogą do odpowiedzi. Policzyliśmy najlepszą drugą próbę dla każdego możliwego wyniku pierwszej próby.